പാഠം 2 : എന്തിനും ഒരു പരിധി ഉണ്ട് !

ഒകെ ഒകെ ! സിറ്റ് ഡൌണ്‍ !!

"അപ്പോള്‍ നമ്മള്‍ ഇന്നലെ ഒരു കഥ കേട്ടു അല്ലെ.. മാഷ്‌ പറഞ്ഞ കഥ ആരും മറന്നിട്ടില്ലല്ലോ ..ഗുഡ്! വെരി ഗുഡ് !"

"ഏതു കഥക്കും ഒരു സാരാംശം ഉണ്ടാവും ല്ലേ .. ഈ കഥയിലെ സാരാശം എന്താണെന്ന് ആരുക്കു പറയാം ..?"
"ഞാന്‍ പറയാം മാഷെ.."
"ആ നീ പറ .."
"നെയ്യപ്പം കിട്ടിയാല്‍ എടുത്തു ഓടിക്കൊള്ളണം ,,ആര്‍ക്കും പിടിക്കാന്‍ പറ്റില്ല "
"ആ വെരി ഗുഡ് ..ഇരിയെടാ അവടെ !! "
"വേറെ ആര്‍ക്കു പറയാം ..അമ്മു പറയൂ.."
" മാഷെ .. തെറ്റിയാല്‍ വഴക്ക് പറയരുത് .."
"ഇല്ല ,നീ പറഞ്ഞോളൂ .."
"അതേയ് ,, ബിജുവിന്റെയും മിനിയുടെയും ഇടയ്ക്കു ദൂരം ഉള്ളിടത്തോളം ബിജുവിന് മിനിയെ മാറി കടക്കാന്‍ പറ്റില്ല .."
"മിടുക്കി .. അപ്പോള്‍ ദൂരം കുറഞ്ഞു പൂജ്യമാകാന്‍ എത്ര തവണ ഓട്ടം ആവര്‍ത്തിക്കണം ...?"
" അതിനു അറ്റമില്ല ..അനന്തമാണ്‌ അതിന്റെ തുടര്‍ച്ച .."
"കൊള്ളാം , അപ്പോള്‍ ദൂരം അത്ര കുറഞ്ഞാലും അത് ഒരു തുടര്‍ച്ച ആണെങ്കില്‍ അതിനുള്ളില്‍ അനന്ത കോടി ബിന്ദുക്കള്‍ ഉണ്ടാകും എന്ന് ."
"അപ്പോള്‍ , സമയമോ ..ഒരു കുറഞ്ഞ ദൂരവും ഓടിയെത്താന്‍ , അത്ര കണ്ടു കുറഞ്ഞ സമയം മതിയല്ലോ ..അല്ലെ.."
"അതെ മാഷ് .."
"അപ്പോള്‍ സമയവും തുടര്ച്ച്ചയയുള്ള ഒന്നായിരിക്കണം ..എന്നാലെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ദൂരത്തിനും (കൊച്ചു ദൂരം ) തത്തുല്യമായ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സമയവും (കൊച്ചു സമയം ) നില നിക്കുകയുള്ളൂ.."

അങ്ങനെ വരുമ്പോള്‍ നമ്മള്‍ ഇവിടെ ഒരു അനുമാനം എടുക്കുന്നു .

( 1 ) സമയവും ദൂരവും വീണ്ടും വീണ്ടും അനന്തമായി വിഭജിക്കാവുന്നതാണ്
( 2 ) ദൂരത്തിന്റെ ഏതൊരു മാത്രക്കും തത്തുല്യമായി സമയത്തിന്റെ ഒരു മാത്രാ ഉണ്ട്
( 3 ) ഈ മാത്രകളുടെ അനുപാതം മാറുന്നില്ല (പ്രവേഗം (velocity ) )

അതായതു ,
"കൊച്ചു ദൂരം / കൊച്ചു സമയം = പ്രവേഗം , കേട്ടല്ലോ "

പ്രവേഗത്തിനു ഇങ്ക്ലീഷില്‍ വെലോസിറ്റി എന്ന് പറയും കേട്ടോ..

ഇനി നമുക്ക് ബിജുവിനും മിനിക്കും ഇടയിലുള്ള ദൂരത്തിന്റെ സ്വഭാവം നോക്കാം .
ആദ്യം , 10 മീറ്റര്‍ , പിന്നെ 5 , പിന്നെ 2 1 /2 മീടര്‍ അങ്ങനെ ..അങ്ങനെ
കണക്കിന്റെ രീതിയില്‍ എഴുതിയാല്‍ ...

10, 5 , 2.5 , 1.25 .....

അതായതു

10 /1 , 10/2 , 10/4 , 10 / 8 , 10/16 ,10/24, 10/48 ,......................................10/ 2^(N-1) ,10/ 2^N.............. (N->Infinity ) ....................... (1 )

നമുക്കറിയാം ഇത് ഒരു അനന്തമായ സംഖ്യ ശ്രേണിയാണ് ..എന്നാല്‍ ഇതിന്റെ സ്വഭാവം എന്നത് തുടര്‍ച്ചയായി ചുരുങ്ങി വരുന്നു എന്നതാണ് ..( Converging series )
അപ്പോള്‍ ഈ ഓരോ കൊച്ചു ദൂരവും തന്ടനെടുക്കുന്ന സമയത്തിന്റെ ശ്രേണി ഇങ്ങനെ ആകുന്നു :

10 /1 v, 10/2v , 10/4v , 10 / 8v , 10/16v ,10/24v, 10/48v ,......................................10/ 2^(N-1)v ,10/ 2^Nv.............. (N->Inifity ) ....................... (2 )
ഇവിടെ v എന്നത് സ്ഥിര പ്രവേഗമാണ് ..
അത് കൊണ്ട് ബിജു മിനിയെ വെട്ടികാന്‍ ആകെ എടുക്കുന്ന സമയം ഇവയുടെ ആകെ തുകയാണ് .

അതായത് ,

ആകെ സമയം = 10 /1 വ + 10/2v + 10/4v +10 / 8v +10/16v +10/24v + 10/48v ,......................................10/ 2^(N-1)v + 10/ 2^Nv.............. (N->Inifity ) ....................... (2 )

തുടര്‍ച്ചയായി ചെറുതായി വരുന്ന പല ശ്രേണികളുടെ തുക ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യത്തിലേക്ക് അടുത്ത് കൊണ്ടിരിക്കും ..ആ മൂല്യം കണ്ടു പിടിക്കുന്നതിനു ഓരോ ശ്രേണിക്കും ചില എളുപ്പ വഴികള്‍ ഉണ്ട് .. അങ്ങനെ നമുക്ക് ബിജു എടുക്കുന്ന ആകെ സമയം കണക്കാവുന്നതാണ് ..

"ശരി ,ആ പ്പോള്‍ മാഷ് എന്താ പറഞ്ഞു വന്നത് ..?"
" സമയവും ദൂരവും സ്ഥിരമായ തുടര്‍ച്ചയാണ് എന്ന് വിചാരിച്ചാല്‍, അനന്തമായ അവര്തനങ്ങളിലൂടെ ഇവയെ കൊച്ചു കൊച്ചു സമയ ദൂരങ്ങള്‍ ആയി ചെറുതാകാന്‍ സാധിക്കും "
"ശരി പിന്നെ ?"
"അങ്ങനെ കണക്കാക്കിയാല്‍ ഇവയെ ഒരേ സ്വഭാവമുള്ള ഒരു ശ്രേണിയായി എഴുതാന്‍ പറ്റും "
"ശരി പിന്നെ ..?"
"അങ്ങനെ എഴുതി കൂട്ടിയാല്‍ ബിജു ആകെ എടുക്കുന്ന സമയം കണ്ടു പിടിക്കാന്‍ പറ്റും .."

"ശരി.. കണക്കിലെ ഈ രീതിക്ക് പറയുന്ന പേരാണ് , പരിധി കണ്ടു പിടിക്കുക . Limit എന്ന് പറയാം "
"ഇത്തരം ശ്രേണികള്‍ക്ക് പൊതുവില്‍ കണ്‍വര്‍ജിംഗ് സീരീസ് എന്ന് പറയാം .. ന്യുട്ടന്‍ സിരീസ് , ടെയ്‌ലര്‍ സിരീസ് എന്നൊക്കെ പല സിരീസ് ഉണ്ട് ."
"നമ്മുടെ കേരളത്തിലെ പഴയകാല ഗണിതശ്ത്രഞ്ഞന്മാര്‍ ആയ ആയ മാധവാചാര്യര്‍ ,ഈ സിരീസ് അറിയുമായിരുന്നു ...കേട്ടോ ."

ലോകത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രതിഭാശാലിയായ ശാസ്ത്രഞ്ഞന്മാരില്‍ ഒരാളായ ആയിസക് ന്യുട്ടന്‍ , ഈ കണക്കു കൂടി ഉപയോഗിച്ചാണ് 'ക്ലാസ്സിക്കല്‍ ഫിസിക്സ് ' ( മെക്കാനിക്സ് )
ന്റെ ലോകം കെട്ടിപ്പടുത്തത് ..
ഈ അനന്തമായ ചെറുതുകളുടെ തുടര്‍ച്ചയും അതിന്റെ അനുപാത സ്വഭാവവുമാണ് കല്‍ക്യുലാസ് എന്നാ പേരില്‍ ന്യുട്ടനും ലെബനിസ്റ്റും ഒക്കെ സൃഷ്ടിച്ചെടുത്ത കണക്കിന്റെ രീതികളില്‍ ഉള്ളത് ..
ഈ കല്‍ക്യുലാസ് ആണ് കേട്ടോ .. വിവിധ് കാര്യ കാരണങ്ങള്‍ തമിലുള്ള ബന്ധത്തിന്റെ അനുപാത സ്വഭാവം പഠിക്കാന്‍ ഉപയോഗിക്കപ്പെടുതുന്ന ഗണിത ശാസ്ത്ര മാര്‍ഗ്ഗം ..!

"അപ്പോള്‍ മാഷ് എന്താ പറഞ്ഞെ ..? ,റഫീക്ക് പറയൂ "

( 1 ) സ്ഥിരമായ വിഭജനം സാധ്യമെങ്കില്‍ തുടര്‍ച്ചകള്‍ അനന്തമാണ്‌ , പക്ഷെ തുടര്ച്ചകളുടെ മൂല്യത്തിനു പരിധിയുണ്ട് . അത് കൊണ്ട് തുടര്ച്ചകളുടെ സങ്കലനതിനും പരിധി ഉണ്ട്
( 2 ) ശ്രേണികളുടെ ആനുപാതിക സ്വഭാവങ്ങള്‍ മനസ്സിലക്കുന്നതിലൂടെ ഈ പരിധി കണ്ടു പിടിക്കാന്‍ പറ്റും , പക്ഷെ ശ്രേണിയുടെ ആനുപാതിക സ്വഭാവം തന്നെ ശ്രേണിയോടൊപ്പം മാറുന്ന സാഹചര്യം ഉണ്ടാകരുത്
( 3 ) ശ്രേണികളുടെ ഈ സ്വഭാവം കനവര്‍ജന്‍സ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു .
( 4 ) ശ്രേണിയുടെ ഒരു ചെറിയ ഭാഗത്തിന്റെ ഈ സ്വഭാവം കല്‍ക്യുലാസ് എന്നാ ശാസ്ത്ര ശാഖ വികസിക്കാന്‍ കാരണമായി
( 5 ) ലോക തത്വങ്ങളുടെ കാര്യാ കാരണ വിശകലനങ്ങളിലും , ചലന നിയമങ്ങളിലും കല്‍ക്യുലസിന്റെ സ്ഥാനം നിര്‍ണായകമാണ് .

"ആ, ജോണിക്കെന്തോ ചോദിക്കാനുണ്ട് ..ചോദിക്കൂ .."
"അല്ല മാഷെ .. , സാറ് പറയുന്ന ശ്രേണി പ്രകാരം ലോകത്ത് ദൂരം സമയം എന്നിവ അനന്തമായി വിഭജിച്ചു പൂജ്യം വരെ ആക്കാംഎന്നല്ലേ.. എങ്കിലല്ലേ ഈ തത്വം പൂര്‍ണമായി ശരിയാകൂ..? "

"മിടു മിടുക്കന്‍ ..! അപ്പോള്‍ ജോണി പറയുന്നത് നന്നേ ചെറിയ കൊച്ചു ദൂരങ്ങളില്‍ കൊച്ചു സമയങ്ങളില്‍ തുടര്‍ച്ച ഉണ്ടാവണം എന്നില്ല എന്നല്ലേ..?"

"അതെ മാഷെ .. "
"വെരി ഗുഡ് !അത് മാഷ് പറയാം , ക്വാണ്ടം സിദ്ധാന്തം എന്താണെന്നും മാര്‍ക്സ് പ്ലാങ്ക് എന്നാ ഒരു ശാസ്ത്രന്ജനെ കുറിച്ചും ഹെയ്സന്ബര്ഗ് എന്നാ ഒരു തത്വചിന്തക ശാസ്ത്രന്ജനെ കുറിച്ചും മാഷ് വഴിയെ പറഞ്ഞു തരാം എല്ലാം കൂടെ ഇന്ന് തന്നെ പറഞ്ഞാല്‍ ശരിയാകില്ല.."

" ഇതാ ,അമ്മു എന്തോ ചോദിയ്ക്കാന്‍ പോകുന്നു ..പറയു അമ്മു ..?"
"മാഷെ .. , ശ്രേണിയുടെ സ്വഭാവം മാറാതിരുന്നലല്ലേ ഇപ്പറഞ്ഞ ലിമിറ്റ് ശരിയാകുക ഉള്ളൂ ..ശ്രേണിയുടെ സ്വഭാവം തന്നെ മാറിക്കൊണ്ടിരുന്നലോ ..?"

"സബാഷ് ! മാഷ്ക്ക് ഈ ചോദ്യം ഏറെ ഇഷ്ടമായി ...! മോള്‍ ചോദിചെടുതാണ് ക്ലാസിക്കല്‍ മെക്കാനിക്സിന്റെയും മോഡേണ്‍ ഫ്യ്സിക്സിന്റെയും ഇടയില്‍ ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം പറയാന്‍ ആയിന്‍സ്ടീന്‍ എന്ന അമ്മാവന്‍ കയറി വരുന്നത് , അദ്ദേഹത്തിന്റെ "സ്പെഷിയല്‍ തിയറി ഓഫ് റിലേറ്റിവിറ്റി " എന്ന സിദ്ധാന്തം വഴി..അതും മാഷ് വഴിയെ പറയാം , എല്ലാം പറഞ്ഞാല്‍ ശരിയാവില്ല ..ഇപ്പൊ നമുക്ക് ന്യുട്ടന്‍ മാമന്റെ ക്ലാസ്സിക്കല്‍ ഫിസിക്സ് തന്നെ മനസിലാക്കാന്‍ ശ്രമിക്കാം "

"ആ നമ്മുടെ രാമന്‍ ചേട്ടന്‍ ഉച്ചക്ക് ഉള്ള ബെല്ല അടിക്കുന്നുണ്ട് .. എല്ലാവരും പോയി ഊണ് കഴിച്ചോളൂ ..മാഷ്ക്കും നല്ല വിശപ്പുണ്ട് ..ഊണ് കഴിഞു ആരും മാവിന് കല്ലെറിയാന്‍ ഒന്നും പോകരുത് അടങ്ഗ്ഗി ഇരുന്നോളണം...ഡാ നിന്നോടും കൂടിയാണ് ..പറഞ്ഞത് കേട്ടല്ലോ.. ങഹാ ..!!